培养学生我主张流动 。 19世纪的德国数学 ， 当然是世界第一 。 德国的大学生可以到任何大学去注册 。 这学期在柏林听Weierstrass的课 ， 下学期到哥廷根听Schwarz的课 ， 随便流动 。 教授也可以流动 ， 例如柏林大学已有M.普朗克、A.爱因斯坦 ， 一个理论物理学家在柏林大学自然没有发展的希望 ， 就不妨到别的学校去创业 。 我希望中国的学生、教授都能流动 。 教授可以到别的学校去教课 ， 教上半年 。 各个数学研究院的教授也能互相交换 。
我想再稍微讲点数学 。 刚才说过 ， 选择数学研究方向并不一定要跟主流 ， 可以选自己特别喜欢的那些分支 。 不过 ， 一个数学家应当了解什么是好的数学 ， 什么是不好的或不大好的数学 。 有些数学是具有开创性的 ， 有发展的 ， 这就是好的数学 。 还有一些数学也蛮有意思 ， 但渐渐变成一种游戏了 。 所以选择好的数学研究方向是很要紧的 。
让我举例来谈谈 。 大家是否知道有个拿破仑定理？这个定理也许和拿破仑并没有关系 ， 却也蛮有意思 。 定理是说任给一个三角形 ， 各边上各作等边三角形 ， 然后将这三个等边三角形的重心联起来 ， 又是一个等边三角形 。 各边上的等边三角形也可朝里面做 ， 得到两个解 ， 等等 ， 这个数学就不是好的数学 。 因为它难有进一步的发展 。 当然 ， 如果你感到累了 ， 愿意想想这些问题 ， 也蛮有意思 ， 这好象一种游戏 。 那么什么是好的数学？比方说解方程就是 。 搞数学都要解方程 。
一次方程易解 。 二次方程就不同 。 x^2-1=0有实数解 。 x^2+1=0就没有实数解 。 后来就加进复数 ， 讨论方程的复数解 。 大家知道的代数基本定理就是n次代数方程必有复数解 。 这一问题有长的历史 。
当年的有名数学家欧拉（1707-1783）就考虑过这个问题 。 欧拉名望很高 ， 但当时没有教授的职位 ， 生活上也很困难 。 那时的德国皇帝认为皇宫中一定要有世界上最好的数学家 。 所以就把欧拉请去了 。 欧拉就曾研究过代数基本定理 ， 结果一直没有证出来 。
后来还是高斯（1771-1855）发现了复数与拓扑有关系 ， 有了新的理解 。 因为模等于1的复数表示一个圆周 ， 在这圆周上就会有很多花样 。 第一个会证明代数基本定理的是高斯 ， 而且给了不止一个证明 。
如果从解f(x)=0到f(x,y)=0 ， 那就进到研究曲线 ， 当然也可能没有解 ， 一个零点也没有 。 于是花样就来了 ， 假使你在 f(x,y)=0中把x,y都理解为复数 ， 则两个复数相当于四维实空间 ， 这就很麻烦 ， 出现了复变函数论中的黎曼曲面 。 你要有黎曼曲面来表示这个函数 ， 求解原来的方程 f(x,y)=0 ， 那就要用很多的数学知识 。 其中最要紧的概念是亏格 （Genus）g 。 你把 f(x,y)=0的解看成曲面之后 ， 那么曲面有多少个圈 ， 球面、环面等等的花样就很多 ， 都和g有关 。
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