此外 ， 你也可以有另外的花样 。 比如假定 f(x,y)=0的系数都是整数 ， 你也可以讨论这一方程的整数解 ， 这个问题就很难了 。 直到前几年才发现这一方程是否有整数解和亏格g有密切关系 。 当g=0时 ， 有无穷多个整数解 。 g=1则有些特别的性质 。 当g>1时 ， 德国的伐尔廷斯 （Faltings）在1984-1985年间证明了 f(x,y)=0的整数解至多为有限个 。 这一结果和费马定理有关 。 那是说x^n+y^n=z^n （n>=3）没有正整数解 。 这还没有解决费马问题 ， 但是前进了一大步 。
确实 ， 数学可以引导出很深的观念 。 数学中我愿把数论看作应用数学 。 数论就是把数学应用于整数性质的研究 。 我想数学中有两个很重要的数学部门 ， 一个是数论 ， 另一个是理论物理 。 理论物理也是用很多数学的部门 。
在这一小时里我无法讲很多的数学 。 我还想讲一点 ， 比方说最近一个时期最热闹的数学是什么 ， 即当前的主流数学 ， 刚才我说过我并不喜欢大家都去搞主流数学 ， 不过主流数学毕竟是重要的 。
所谓主流数学 ， 是指一个伟大的数学贡献 ， 深刻的定理 ， 含义很广证明也很不简单 。 如果在当前选一个这样的贡献 ， 我想那就是Atiyah-Singer指数定理 。
Atiyah是英国皇家学会会长 。 上个月他来北京 ， 还作过报告 。 这个指数定理可看成是上面所谈问题的近代发展 ， 即将代数方程、黎曼曲面、亏格理论等等从低维推广到高维和无穷维 。
因此 ， 我觉得数学研究不但是很深很难很强 ， 而且做到一定的地步仍然维持一个整体 ， 到现在为止 ， 数学没有分裂为好几块 ， 依旧是完整的 。 尽管现代数学的研究范围在不断扩大 ， 有些观念看来比较次要 ， 慢慢就被丢掉了 ， 但基本的观念始终在维持着 。
我想今天就这样结束 ， 谢谢大家 。
注：本文是1992年5月31日陈省身先生在“纪念国家自然科学基金十周年学术报告会”上的讲话 ， 根据录音整理 。 原载《中国数学会通讯》1992年6月 。
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—THE END—
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