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什么是无理数，为什么说π是无理数

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无理数是指无限不循环小数，即不可以用两个整数比表示 。
相反地，有理数可以用两个整数的比值表示 。
谨此以反证法证明π是无理数
假设π是有理数，则π=a/b (a,b为自然数)

令：f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!）
若：0 0以上两式相乘得：
0 当n充分大时，在[0，π]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx<[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 ①
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n) (表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n
故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数
因此，F(x)和F(π)也都是整数
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)cosx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx (上限为π，下限为0)
=[F'(x)sinx-F(x)cosx]
=F(π)+F(0)
【什么是无理数，为什么说π是无理数】上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与①式矛盾
所以π不是有理数，又因为它是实数，故π是无理数 。
另外，用泰勒展开级数也是可以证明其是无理数 。这里不加以证明 。

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