世界上只有5种正多面体的另一种证明方法( 二 )
草图是完全定义的 ， 说明草图有唯一确定的解 。
按照以上思路继续画下去 ， 能够画出整个球面上的均分点 ， 均分点的数量是8个 。 说明m=3 ， n=4 ， 有解 。
4、m=3 ， n=5 ， 有解 。
接上面 ， 假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上 ， 存在第四个点和第五个点 ， 那么该平面内的5点 ， 按照最小距离连接起来 ， 是一个五边形 。 过球心向五边形作垂线 ， 垂足设为O点 ， 可求证得到O点到五边形各顶点的距离相等 ， 因此五边形是正五边形 。 正五边形对角线长度等于边长的倍 。 如下图所示：
草图是完全定义的 ， 说明草图有唯一确定的解 。
按照以上思路继续画下去 ， 能够画出整个球面上的均分点 ， 均分点的数量是20个 。 说明m=3 ， n=5 ， 有解 。
5、m=3 ， n≥6 ， 不可能 。
接上面 ， 假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上 ， 存在另外三个点 ， 那么该平面内的6点 ， 按照最小距离连接起来 ， 是一个六边形 。 过球心向六边形作垂线 ， 垂足设为O点 ， 可求证得到O点到六边形各顶点的距离相等 ， 因此六边形是正六边形 。 正六边形较短的对角线长度等于边长的倍 。 如下图所示：
草图是无法找到解的 ， 说明m=3 ， n=6 ， 不可能画出整个球面上的均分点 。
至于为什么无解呢？因为副圆上阵列相邻点的距离等于副圆半径的倍 ， 又要求该距离等于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离的倍 ， 说明主圆最上面象限点与阵列点之间的距离等于副圆的半径 。 在主圆草图上的那个三角形显然是直角三角形 ， 斜边大于直角边 ， 即主圆最上面象限点与阵列点之间的距离大于副圆的半径 。 相互矛盾 。 因此这种情况不可能 。
m=3 ， n=7时 ， 正多边形的内角越来越大 ， 主圆最上面象限点与阵列点之间的距离越来越比副圆的半径小 ， 这是不可能的 。 因此m=3 ， n≥6 ， 均不可能 。
6、m=4 ， n=3 ， 有解 。
接上面 ， 如果只阵列四个点 ， 将其中一个点转到草图圆上 ， 根据圆周上四点阵列的特点 ， 则另三点一定位于草图圆的象限上 。
根据均布孔的要求 ， 可以让副圆上阵列相邻点的距离等于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离 。 如下图所示：
草图是完全定义的 ， 说明草图有唯一确定的解 。
按照以上思路继续画下去 ， 能够画出整个球面上的均分点 ， 均分点的数量是6个 。 说明m=4 ， n=3 ， 有解 。
7、m=4 ， n≥4 ， 不可能 。
接上面 ， 可以让副圆上阵列相邻点的距离大于主圆最上面象限点与阵列点之间的距离 ， 假如过主圆最上面象限点和副圆上相邻两点的平面上 ， 存在第四个点 ， 那么该平面内的4点 ， 按照最小距离连接起来 ， 是一个正方形或者菱形 。 同理可证该四边形是正方形 。 正方形对角线长度等于边长的√2倍 。 如下图所示：
草图是欠定义的 ， 软件获得的解是 ， 副圆上的阵列点与主圆最上面象限点几乎重合 ， 说明m=4 ， n=4 ， 不可能画出整个球面上的均分点 。
至于为什么这样呢？软件在计算的时候 ， 有时会无法找到解 ， 有时也会出现这种副圆半径几乎为0的解 。 副圆半径为0 ， 意味着任何倍数关系都成立 ， 数学上有解 ， 但是这种情况是不可能绘出球面上均分点的 。 副圆上阵列相邻点的距离等于副圆半径的倍 ， 又要求该距离等于主圆的最上面象限点与阵列点之间的距离的倍 ， 说明主圆最上面象限点与阵列点之间的距离等于副圆的半径 。 在主圆草图上的那个三角形显然是直角三角形 ， 斜边大于直角边 ， 即主圆最上面象限点与阵列点之间的距离大于副圆的半径 。 相互矛盾 。 因此这种情况软件计算的解 ， 要么是无法找到解 ， 要么是0解 。
m=4 ， n=5时 ， 正多边形的内角越来越大 ， 主圆最上面象限点与阵列点之间的距离越来越比副圆的半径小 ， 这是不可能的 。 因此m=4 ， n≥5 ， 均不可能 。
8、m=5 ， n=3 ， 有解 。
接上面 ， 同理 ， 我们得到草图如下：
草图是完全定义的 ， 说明草图有唯一确定的解 。
按照以上思路继续画下去 ， 能够画出整个球面上的均分点 ， 均分点的数量是12个 。 说明m=5 ， n=3 ， 有解 。
9、m=5 ， n≥4 ， 不可能 。
以n=4为例 ， 同理 ， 我们得到草图如下：
草图是无法找到解的 ， 说明m=5 ， n=4 ， 不可能画出整个球面上的均分点 。 同理 ， m=5 ， n≥5 ， 均不可能 。
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