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凸函数有一个重要的不等式 ， 称为詹森不等式 ， 又叫做琴生不等式 。
上的凸函数 则对任意xi∈[ab
λi>0(i=12…n) ， Σ(i=1->n)λi=1 ， 则
当f上凸时 ， f(Σ(i=1->n)λixi)>=Σ(i=1->n)λif(xi);
当f下凸时 ， f(Σ(i=1->n)λixi)<=Σ(i=1->n)λif(xi).
即 ， 闭区间上存在一系数小于1的正数 ， 它们的和等于1 。 在闭区间[ab
上的凸函数f(x)上取与这些小于1的正数同样多个自变量 ， 分别用这些小于1的正数乘以各个自变量 ， 一一对应 ， 并求它们的和的函数值；另一方面用这些小于1的正数 ， 分别乘以各个自变量的函数 ， 保持与前者相同的一一对应关系 ， 再求这些函数值的和 。 那么和的函数值与函数值的和有如下的关系：
【凸函数的詹森不等式】当f上
用自己的语言描述一下 ， 可以加深印象 。 关于它的证明 ， 老黄准备用视频介绍 。 这里主要是介绍它的一个应用 。
我们一般应用得最多的是当λ1= λ2=…= λn=1/n时的特殊情形 。 这时就有：
当f上凸时 ， f((Σ(i=1->n)xi/n))>=Σ(i=1->n)f(xi)/n;
当f下凸时 ， f((Σ(i=1->n)xi/n))<=Σ(i=1->n)f(xi)/n.
老黄要用它来解决下面的问题：
证明不等式(abc)^((a+b+c)/3)≤a^ab^bc^c 其中abc均为正数.
证：记f(x)=xlnx 则f’(x)=1+lnx f”(x)=1/x>0 f(x)严格凹 (即下凸).
由詹森不等式有：(a+b+c)ln((a+b+c)/3)/3<=(alna+blnb+clnc)/3
即((a+b+c)/3)^(a+b+c)<=a^ab^bc^c.
又(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3);
从而有：(abc)^((a+b+c)/3)≤a^ab^bc^c ， 得证！
利用詹森不等式解决不等式问题的一般步骤是：
1、构造适合的辅助函数 。 这个辅助函数必须具有凸性 ， 这是必要条件 ， 并不一定充分 。
2、利用二阶导数判断辅助函数的凸性 ， 是上凸还是下凸 。
3、根据
4、转化变形 ， 得到要证明的不等式 。
有机会 ， 要多运用这个不等式 ， 才能发现与之相关的更多规律 。
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