璀璨千年的牟合方盖模型

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牟合方盖与球的关系
大家好，牟合方盖是一千多年前为了求球体体积公式而谈论的几何体，就是将两个同样大小的圆柱垂直相交，并且中心点为同一点，这样两个圆柱的重叠部分所构成的立体图形就是牟合方盖，叙述不太严密，直接看图吧，如下

图1 ，这就是牟合方盖

图2 ，两个同样大小圆柱重合部分为牟合方盖，以上是切一半的图
那么如何用牟合方盖来计算球体体积呢？就需要用到祖暅原理了。
祖冲之大家都知道，计算圆周率的数学家，此外，他还有很多理论传承下来，有著名的极限思想，他的后人受到这些经典的数学思想，耳濡目染也成为伟大的数学家，并且提出来著名的理论——界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果截面的面积处处相等，那么这两几何体的体积相等。以上便是祖暅原理，由祖冲之的后代，数学家祖暅提出，也叫卡瓦列利原理。

图3 ，牟合方盖里面可以内切球，并且此球与圆柱的半径相同
根据祖暅原理，可以明确球体体积和牟合方盖存在很大的联系，根据图3 可知，如果被平行的平面所截，设截面到最底面的高度为h ，牟合方盖的半径为r ，那么牟合方盖其内切球的截面圆面积为 [r2-(r-h)2
π
而牟合方盖的截面都是正方形，其面积为4[r2-(r-h)2
。而当 h>r 在上半部分时，内切球截面面积为 [r2-(h-r)2
π ，同理，牟合方盖截面面积为 4[r2-(h-r)2
，可见牟合方盖的截面正方形面积是内切球截面圆面积的4/π倍，那么根据祖暅原理，牟合方盖的体积也将是内切球的4/π倍，想求球体体积，只要将牟合方盖体积乘以π/4即可。
牟合方盖的体积
那么问题又来了，牟合方盖的体积怎么求呢？由于体积的对称性，这里将牟合方盖切成全等的8份，考虑其中一份就行了，发现牟合方盖体积与正方体内部的四棱锥体积相等，如图

图4 ，牟合方盖的1/8 ，将其放在正方体内
为了便于观察，画出了辅助正方体，上图是牟合方盖体积的1/8 ，观察平行平面，发现剩余部分截面面积与同样的正方体下的四棱锥部分的截面面积相等（两图中紫色截面面积相等），那是因为若设紫色截面高度为y ，那么两处截面紫色部分面积都将是
r2-(r2-y2)=y2 ，这样我们就可得出牟合方盖体积的1/8为
r3-r3/3=2r3/3 ，那么牟合方盖体积为16r3/3 ，从而可求出球体体积为
16r3/3×π/4=4πr3/3
牟合方盖的表面积
【璀璨千年的牟合方盖模型】下面来看看牟合方盖的表面积，想求表面积可以计算一下展开图，如果沿着截面正方形对角线的位置将其切开，切痕就相当于把圆柱体斜着45°切开的切面，应该是椭圆，那展开图呢？想象一下将粉笔用纸卷起来再斜着切，那么切完之后纸的痕迹应该是三角函数曲线，为什么呢？这里根据牟合方盖计算一下，如图4 ，设侧面射线到底面的夹角为θ ，就可以列出参数方程。如果将侧面展开，弧长为x轴，展开的宽度为y ，那么根据1/8牟合方盖可知
x=θr
y=r cosθ
化简可得
y=r cos(x/r)
那么解析式就是余弦函数了，一半的牟合方盖展开图如下

图5 ，牟合方盖展开图
其中的弧线是余弦曲线，那么根据一条代表曲线所围一片叶子的积分可算得整个牟合方盖的表面积可以表示成
16∫r cos(x/r)dx
=16r2∫ cos(x/r)d(x/r)
=16r2 sin(x/r)+C
所求积分区间是0~0.5πr ，最后算得表面积为16r2

创新思维
牟合方盖的体积、表面积及应用就这些了，感觉到一些创意没？其实表面积那部分要用到积分的知识才能解决，如果想只用高中知识，那就用极限试试吧，原理都一样，将θ分成n份，每份的弧长乘以宽度再求和，最后再将n趋势到∞就行了，有兴趣的朋友可以自己计算。

璀璨千年的牟合方盖模型

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