2021，一个平平无奇的数字
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撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系教授）
来源：普林小虎队
跌宕起伏的2020年终于过去 ， 2021年来到人间 。 按照笔者中学时参加数学竞赛的惯例 ， 总要分析一下2021这个数字的性质 ， 以防竞赛中遇上包含这一数字的题目 。 像1997年国际数学奥林匹克 ， 第四题里就出现了1997 。
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1997年IMO第四题 ， 有兴趣的读者可以做做 。
然而 ， 跟2020比起来 ， 2021实在是一个平平无奇的数字 。
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2020有许多有趣的分拆 ， 比如它是5个404的和 。 (有位读者问：“404啥意思？” 这个嘛 ， 大家应该都经常看到404页面是不是？)
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2020=1024+996 ， 所以2020年10月24日码农节有着特殊的意义 。
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2021呢 ， 笔者尚未找到这样的分拆 ， 难道要用2021=1024+997？那可就太绝望了！
素数和半素数
分拆不成 ， 那么试着因数分解？我们知道 ， 如果一个大于1的整数的因子只有1和它本身 ， 那么这个数就被称为素数（也称质数） 。 2、3、5、7是最小的几个素数 ， 1997也是素数 。 素数是“数论”这门数学分支里研究的基本对象 ， 在数学里有着重要意义 。 如果2021是一个素数 ， 那么从数学上看它就很有意思 。 可是很遗憾 ，
【2021，一个平平无奇的数字】
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所以它不是素数 。
在上面的乘式里 ， 43和47都是素数 。 如果一个正整数是两个（可以相同）素数的乘积 ， 那么这个正整数就被称为半素数 (semiprime) 。 所以2021就是一个“半素数” 。
在数论里有许多跟素数有关的问题 。 比如著名的哥德巴赫猜想 ， 其内容就是任何一个大于4的偶数都能写成两个素数的和 。 如果两个素数彼此之间只差2 ， 那么它们就被称为一对孪生素数 。 比如1997和1999就是一对孪生素数 。 孪生素数猜想断言存在无穷多对孪生素数 。
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张益唐在孪生素数猜想上作出了重大突破丨图源：北京大学新闻网
有的时候 ， 数学家无法证明关于素数的猜想 ， 就退而求其次 ， 看看能不能证明关于半素数的相应结论 。 最著名的例子就是陈景润在哥德巴赫猜想上的工作 ， 通常被记为“1+2” ， 其数学含义是：任何一个大于4的偶数都能写成两个数的和 ， 其中一个数是素数 ， 另外一个数是素数或者半素数 。 公众不太了解的是 ， 陈景润在孪生素数猜想上也有类似的结果 。 他证明了 ， 存在无穷多个素数 ， 使得这个素数加上2以后是一个素数或者半素数 。
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著名数学家陈景润丨图源：***
半素数的一个性质是 ， 如果把它写成两个大于1的整数的乘积 ， 那么在不考虑顺序的情况下 ， 这种乘式是唯一的 。 （读者可以思考一下 ， 除了半素数以外 ， 还有没有别的整数有这样的性质？）1974年 ， 人们用阿雷西博射电望远镜向武仙座M13球状星团发射了一段共1679比特的信息 。 破解阿雷西博信息的第一步 ， 就是注意到1679是一个半素数 ， 所以可以把信息组成一个73×23的矩形 。
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阿雷西博信息中包括1到10的数字 ， DNA、人类和太阳系的信息 ， 甚至阿雷西博望远镜本身的形象和直径 。 丨图源：维基百科
乌拉姆螺旋
2021本身的两个素因子是43和47 ， 如果你是笔者这样的业余数论爱好者 ， 多半可以一眼认出 ， 它们是欧拉 (Leonhard Euler) 发现的一系列能用多项式生成的素数中的两个 。 欧拉在1772年注意到 ， 对于二次多项式
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当n取
0, 1, 2, 3, ……, 39
时 ， 得到的数值是
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