棱锥体积公式的微积分推导 _体积

牛顿说过，一大类问题，如果已经知道函数的导函数，就可以根据微积分基本定理，用求积分的办法求出原函数，这是微积分的基本精神，也是数学物理方法解微分方程的基本精神。我们以棱锥为例，来实践牛顿的基本思想，看看微积分的威力。
体积对高度的导数
棱锥V-ABC中，令高AH =H，设底面⊿ABC的面积为S 。过VH上任意一点H’做平面
A'B'C'//ABC，且与三条棱分别相交于A’,B’,C’ 点，与VH相交于H’ 。则有：AB//A’B’，BC//B’C’，CA//C’A’ 。且AH’⊥平面A’B’C’ 。所以⊿ABC与⊿A’B’C’对应的角相等，所以⊿ABC∽⊿A’B’C’ 。令⊿A’B’C’的面积为s,则有:

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图1
连接A,H,H,B;连接A’,H’,H’.B’；AH//A’H’,HB//B’H’,AB//A’B’.所以⊿ABH，⊿A’B’H’对应的角相等, 得到⊿ABH∽⊿A’B’H’ 。

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这是s->h 函数关系，定义域为（0,H] 。
现在我们将v设为棱锥V-A’B’C’的体积，H’变化,v也将随之变化，这样v也是h的函数，我们来求：

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【棱锥体积公式的微积分推导】在平面A’B’C’附近一点再做一平面平行于ABC且与AH相交于H’’，与对应的棱相交于A’’,B’’,C’’，令⊿h=H’H’’. 现在过A’,B’,C’;A’’,B’’.C’’分别向做平面A”B”C”与A’B’C’做垂直线，与相对平面相交形成的两个棱柱的刚好夹住了所截取的棱锥部分。设所夹的棱锥部分的体积为⊿v 。