考点精讲等腰三角形的性质和判定 _精讲

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今天的【大讲堂】讲解《等腰和等边三角形》的性质和判定。
一.等腰三角形
1.等腰三角形的定义
有两边相等的三角行是等腰三角形、相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角时做底角，顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，
特别注意：
（1）等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180° ，两边之和大子第三边等。
（2）等腰三角形是轴对称图形。
2.等腰三角形的性质
(1).等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
(2).等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成”三线合一”）
特别注意：
（1）“等边对等角”只有在同一个三角形中才能应用，若相等的线段不是同一个三角形的边，则不能应用该性质；
（2）运用“等边对等角”可以由顶角求底角，或由底角求顶角，也是证明角相等的常用方法。
【考点精讲等腰三角形的性质和判定】3.等腰三角形的判定
（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
这时在△ABC中的已知条件是“∠B=∠C” ，结论是“AB=AC” ，证明的方法同样有三种，即三种添加辅助线的方法，请读者自己证明.由此可见：
性质定理
等腰三角形﹤=＝＝＝＝＝﹥两角相等
判定定理
二者的题设与结论正好相反
例题应用：
例1.如图，点D ， E在△ABC的边BC上AB=AC ， AD=AE.求证：BD=CE.

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【解析】在解决有关等腰三角形的问题时，一般可以作三种辅助线：作等腰三角形顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线，从而可以运用“三线合一”
证明如图，过点A作AF⊥BC ，垂足为点F.
∵AB=AC ， AD=AE ，
∴AF为△ABC和△ADE的中线，
∴BF=CF ， DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF ，即BD=CE.
【小结】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高均为等腰三角形的对称轴。
二.等边三角形
1. 等边三角形的定义
等边三角形是三边都相等的三角形，也叫正三角形。
根据定义，等边三角形的三条边都相等，则任意两条边都相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一，该点称为“中心” 。（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
（4）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。
3. 等边三角形的判定
（1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4. 含30°角的直角三角形的性质和判定
在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
如图，在Rt△ABC中， ∠B=30° ，则AC=?AB.

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例题应用：

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【解析】此类题考查了30°直角三角形的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用，解这样综合性比较强的题，有助益提高学生分析问题，解决问题的能力，是比较难的题.
1、本题是一道30°的直角三角形的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质的综合题，解题的关键是灵活应用；
2、证明四边形AEDF为矩形，得到DE=AF ，根据直角三角形的性质得到DE等于BD的一半，即可得到DE等于AC的一半；
过点D作DE垂直AB ， DF垂直于AC