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牛顿的《原理》打开了自然数学研究的大门 ， 欧洲大陆的同行们将牛顿关于自然规律的思想推广到大多数物理科学领域 。 继波动方程（从小提琴中振动出的波动方程 ， 成了支撑现代科技的基础理论之一?）之后 ， 又陆续出现了很多其他的“重力方程” ， 如静电方程、弹性方程和热流方程 。
许多方程都以其发明者的名字命名：如拉普拉斯方程 ， 泊松方程 。 热方程则不然 ， 这个名字既缺乏想象力又不准确 。 热方程是由约瑟夫·傅里叶引入的 ， 他的思想导致了一个新的数学领域的诞生 ， 这个领域的分支远远超出了它的原始来源 。
1807年 ， 傅里叶向法国科学院提交了一篇关于热流的文章 ， 该文章基于一个新的偏微分方程：
【信号分析之父—傅里叶，热力学研究中得出傅里叶变换，改变了世界】
这里假设金属棒是无限薄的 ， 热扩散率α是常数 ， u(x t)是在金属棒的x位置和时间t处的温度 。 所以它应该叫作温度方程 。 他得出了一个更高维度的版本 ，
其中▽是拉普拉斯算子 ，
就是
热方程与波动方程有着不可思议的相似之处 ， 但有一个关键的区别 。 波动方程使用二阶时间导数
但在热方程中 ， 它被一阶时间导数?u/?t所取代 。 这个变化可能看起来很小 ， 但它的物理意义是巨大的 。 热并不会像小提琴弦的振动那样无限期地持续下去（根据波动方程 ， 假设没有摩擦或其他阻尼） 。 相反 ， 随着时间的流逝 ， 热量会消散 ， 除非有热源能将其加热 。 所以一个典型的问题是：加热一根棒子的一端以保持其温度稳定 ， 冷却另一端以达到同样的效果 ， 当金属棒的（温度）状态稳定下来时 ， 温度是如何沿着棒子变化的？答案是它呈指数下降 。
另一个问题是：确定
热方程是线性的 ， 所以我们可以叠加解 。 如果初始条件为
那么解
但像这样的初始条件有点不真实 。 为了解决我之前提到的问题 ， 我们需要这样一个初始条件 ， 其中一半金属棒的u(x 0) = 1 ， 另一半是u(x 0) =?1 。 这种初始条件是不连续的 ， 在工程术语中称为方波 。 但正弦和余弦曲线是连续的 。 所以正弦和余弦曲线的叠加不能表示方波 。
但是 ， 如果允许无限项叠加呢？我们可以试着把初始条件
现在看来确实有可能得到方波 。 事实上 ， 大多数系数都可以设为零 ， 只需要n为奇数的b_n项 。
- 如何从正弦和余弦中得到方波 。 左：正弦波分量 。 右：它们的和和一个方波 。 这里展示了傅里叶级数的前几项 。 附加的
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