物理|杨-米尔斯规范原理和粒子物理标准模型丨庆贺杨振宁先生百岁华诞( 五 )_标准模型|科学|原子核|科普|科

5 杨-米尔斯非阿贝尔规范场理论
在电磁理论中规范群是U (1)群；交换两次规范变换的次序，并不改变结果，这属于可交换群，又叫阿贝尔群。杨—米尔斯所做的推广就是把规范变换群推广到非阿贝尔 (即不可交换的) 群。考虑最简单的非阿贝尔群SU (2) 。一个简单的物理例子，就是核子 (组成原子核的粒子) ，即质子 (氢原子核) 和中子。它们电荷不同但质量接近，可以考虑为同一核子的两种不同内部状态。这很像电子的自旋向上和自旋向下的两个态，故叫做核子的同位旋态。数学上则用二分量 (列向量) 波函数来描写，很像一个量子位(qubit) 的量子态：

核子的对称性变换就是一个2×2的么正矩阵U作用在其二分量波函数上：UU?=1 。固定波函数的一个整体位相，我们要求此么正矩阵的行列式为1：det(U )=1 。故此对称性变换群就是SU(2)群。和自旋1/2的情形类似，用指数形式来写就是

其中αa(a=1 ， 2 ， 3)是三个角度参数， τa=σa/2 ，而σa是著名的泡利矩阵：

把参数αa 都变成时空点的函数，我们就得到核子场的规范变换：

(下面将见到，实参数g 就是和规范场的耦合常数。 )

图1 杨先生和Mills(Yang—Mills理论)
让我们通过定义协变导数而引入SU(2)规范场：

其中

是SU(2)规范场的势， a=1 ， 2 ， 3是群(的李代数)的指标。指标a的重复就意味着对该指标求和。然后我们要求规范势的规范变换规则是

不难验证，核子场的协变导数在规范变换下确实是像核子场一样变换：

有了这个结果，我们就可以放心地对自由核子场的作用量(或者运动方程)应用“最小耦合替代规则” ，

物理|杨-米尔斯规范原理和粒子物理标准模型丨庆贺杨振宁先生百岁华诞( 五 )

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