历史表明 ， 人类接受一种新数的过程是漫长而坎坷的 。
正数、负数、有理数、无理数
在欧洲 ， 负数的概念迟至12世纪末 ， 才由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ， 约1170—约1250）做出正确的解释 。 但直到18世纪 ， 欧洲仍有一些学者认为负数是“荒唐、无稽的” 。 他们振振有词地说 ， 零是“什么也没有” ， 那么负数 ， 即小于零的数是什么东西呢？难道会有什么东西比“什么也没有”还要小吗？！
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无理数的出现 ， 可以追溯到相当久远的年代 。 大约公元前5世纪 ， 毕达哥拉斯学派的门人希帕斯发现 ， 等腰直角三角形的斜边与直角边的比不可能表示为既约分数（即几何上的“不可公度”） 。
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希帕斯的思路说来也简单 ， 他采用了“反证法” ， 即先假设
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显然 ， p必须是偶数 ， 否则左式绝不等于右式 。 现令p=2p′（p′为整数） ， 代入得
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这意味着q也必须是偶数 ， 否则右式绝不等于左式 。 这样 ， p与q便至少有一个2的公因子 ， 它与
希帕斯的证明引起了毕达哥拉斯学派的恐慌 ， 因为这个学派抱定“两条线段一定可以公度”的教义 ， 他们宁可拒绝真理 ， 也不愿放弃错误的信条 ， 他们容不得希帕斯这样的“异端邪说” 。 可怜的希帕斯终于被毕达哥拉斯学派的忠实门徒 ， 抛进大海喂了鲨鱼 。
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人类认识无理数的过程 ， 要比想象的更加漫长和曲折 。 从希帕斯起至基础理论基本完成止 ， 整整经历了20多个世纪 。 从“无理数”这3个字的含义 ， 就足以表明人类接受这一概念的艰辛 。
正当人们依旧困惑于负数和无理数的时候 ， 又一种披着极为神秘面纱的新数 ， 闯进了数学领地 。
平方等于-1的复数i的诞生
1484年 ， 法国数学家N.许凯（N.Chuquet ， 1445—1500）在一本书中 ， 把方程4+x2=3x的根写为
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尽管他一再声明这根是不可能的 ， 但毕竟是第一次形式上出现了负数的平方根 。 这种情形对于今天的初中学生 ， 依然是一个望而生畏的禁区 。
1545年 ， 意大利数学家卡尔达诺在讨论是否有可能将10分为两个部分 ， 而使两者之积等于40时 ， 他指出 ， 尽管这个问题没有实数解 ， 然而 ， 假如把答案写成
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虽然卡尔达诺本人怀疑这一运算的合理性 ， 但他终究是第一个认真对待数学领地这一不速之客的勇士 。
卡尔达诺之后 ， 数学家们接触这种“虚幻”的数越来越多 。 大约100年之后 ， 1637年 ， 笛卡儿在他的《几何学》一书中 ， 给负数的平方根起了一个“虚数”的名 。
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勒内·笛卡儿
又大约过了140年 ， 大数学家欧拉开始用i（imaginary虚幻）表示
1801年 ， 高斯系统地使用了符号i ， 并把它与实数的混合物a+bi（a、b为实数）称为复数 。 此后i与复数便渐渐通行于全世界 。
起初虚数总给人以一种虚无缥缈的神秘感 ， 因为在数轴上找不到它的位置 。 富有想象力的英国牛津大学教授约翰·沃利斯(John Wallis) ， 给虚数找到了一个绝妙的解释： 假定某人欠地10亩 ， 即他有-10亩地 ， 而这-10亩地又恰好是个正方形 ， 那么它的边长不就是
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了吗？大胆揭开虚数神秘面纱的 ， 是挪威测量学家韦塞尔（Wessel ， 1745—1818） ， 他找到了复数的几何表示法 。
按韦塞尔的解析 ， 一个复数如4+3i ， 可以如下图那样表示出来 ， 其中4是水平方向的坐标 ， 3是垂直方向的坐标 。 实数对应于横轴上的点 ， 纯虚数对应于纵轴上的点 。
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一个位于横轴上的实数a ， 当它乘以i时变成位于纵轴上的纯虚数ai 。 在几何上这相当于绕原点沿逆时针方向旋转90° 。
如果把ai再乘i ， 即又沿逆时针方向转90° ， 此时理应转回到横轴负向 ， 这一点在下式中表示得更为明显： 
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有趣的是 ， 一个数乘i ， 相当于绕原点沿逆时针方向转90° ， 这一规律 ， 适用于所有的复数 。
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由于A、B分别对应于复数4+3i和-3+4i ， 从而∠AOB=90° 。
复数在荒岛寻宝上的应用
下面是一则扣人心弦的荒岛寻宝的故事 ， 读完之后读者将会看到 ， 一旦复数在几何上有了立足点 ， 它将是多么有用 。
从前 ， 有个年轻人在曾祖父的遗物中偶然发现一张羊皮纸 ， 纸上指明了一座宝藏 ， 羊皮纸内容是这样的：
“乘船到北纬×× ， 西经×× ， 即可找到一座荒岛 。 岛的北岸有一大片草地 。 草地上有一棵橡树和一棵松树 ， 还有一座绞架 ， 那是我们过去用来吊死叛变者的 。 从绞架走到橡树 ， 并记住走了多少步； 到了橡树向右拐个直角再走同样步数 ， 在这里打个桩 。 然后回到绞架那里 ， 再朝松树走去 ， 同时记住所走的步数； 到了松树向左拐个直角再走这么多步 ， 在那里也打个桩 ， 在两个桩的正中挖掘 ， 就可以得到宝藏 。 ”
【复数|为什么要有一个数的平方等于-1？】
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年轻人欣喜万分 ， 决心冒险一试 ， 于是急忙租了一条船 ， 载着满腔的希望驶到了荒岛 。 上岛之后我们年轻的冒险家立时陷入绝望之中 。 他虽然找到了橡树和松树 ， 但绞架却不见了！长时间的雨淋日晒 ， 绞架已经腐烂成土 ， 一切痕迹都已不复存在 。 年轻人气恼地在岛上狂掘一阵 ， 然而一切均属徒劳 ， 终于两手空空 ， 扫兴而归 。
这是一个令人伤心的故事 。 因为 ， 如果这个年轻人懂得一点数学 ， 特别是虚数的话 ， 他本来是有可能找到宝藏的！下面我们来帮帮这个可怜的年轻人 ， 尽管此时此刻对于他已经为时太晚 。
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如上图所示 ， 把荒岛看成一个复数平面 ， 以两棵树所在的直线为实轴 。 过两树中点O ， 作与实轴垂直的直线OY为虚轴 ， 而且以两树M、N之间距离的一半为长度单位 。 这样橡树M和松树N则分别位于实轴的+1与-1点 。
假设未知的绞架位置在Z点处 ， 相应的复数为
Z=a+bi
既然绞架在Z点 ， 松树N在-1点 ， 则两者相对的方位便是Z-（-1）=Z+1 。 把这个数乘以i ， 就得到桩Z2的复数
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同理可得桩Z1的复数（右拐90°相当于乘以-i）： 
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宝藏在两根桩的正中 ， 因此它所在位置的复数T为
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这就是说 ， 不管绞架位于何处 ， 宝藏总在虚轴上相应于复数i的那一点 。 读者若不信 ， 可以自己拿张纸 ， 变换几个绞架的位置 ， 试试看会有什么结果 。
荒岛寻宝的故事已经结束 ， 尽管故事中的情节可能是虚构的 ， 但沿着-1平方根建立起来的复数体系 ， 的确帮助人们在数学和其他科学领域中 ， 找到一个又一个的宝藏 。
来源：《给孩子的数学故事书》
作者：张远南 张昶
编辑：张润昕
_原题_：数学|为什么一定要有一个数的平方等于-1？
来源：原点阅读
编辑：谦
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