Proof|（转）162年难题，黎曼猜想被印度数学家迎刃而解？克雷数研所发出质疑难题|公式|数学|论文|评审|黎曼

2016年，印度数学物理学家Kumar Easwaran声称自己证明了「黎曼猜想」。但国际期刊却迟迟不肯对其进行评审， 5年过去了， Easwaran的论文获得众多关注和讨论，国际期刊也终于发起评审并得出结果：Easwaran证明了「黎曼猜想」！不过对此，克雷数学研究所似乎并不同意。
黎曼猜想又被证明了？
5年前，印度一名数学物理学家Kumar Easwaran声称自己证明了「黎曼猜想」！
他发表了一篇论文「The Final and Exhaustive Proof of the Riemann Hypothesis from First Principles」解释自己的发现，但是专家们不愿对其进行立即评审。
直到2020年，老科学家的论文在网上被下载了1000次，这让专家坐不住了，立即成立了八人专家小组，来研究这篇论文。

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八人专家小组发起了公开评审，并邀请了1200名数学家参与，为保证审查透明公开，参与评审的数学家必须公开姓名、所属机构。
最终，专家小组只收到了「7份」回复。
这次，黎曼猜想被证明了吗？那么，这篇等了5年之久，收获1000下载量的论文到底有没有证明「黎曼猜想」？
专家小组综合了7份回复后发出结论：
Kumar Easwaran的证明是正确的！
其中一份背书，印度马德拉斯大学理论物理系退休教授M. Seetharaman写道：
作者的分析是详尽、明确的，并且每一步分析都很详细且得到了证实。因此，作者的结论和得到的结果必须被认为是得到「证实」的。
所以，这个在数学界流传了162年的未解之谜终于被揭开了？！
克雷数学研究所：Still Unproven 2000年，黎曼猜想被美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute of Cambridge ， CMI）指定为「七大千禧年难题之一」。

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所以，除了8人专家小组的结论，最终确定「黎曼猜想」是否被证明还要有克雷数研所的权威认证。
然而，克雷数研所官网上，关于黎曼猜想的页面最下面这条结论似乎宣判了结果：

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△ https://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis
面对，网上近几天的宣传、发酵，克雷数研所主席Martin Bridson表示：「据我所知，黎曼猜想仍悬而未决。」

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「我很惊讶，印度一些受人尊敬的报刊报道说这一猜想得到了证实，这是草率的，明智的做法是更认真地调查为什么该领域的主要期刊和专家没有接受这一证明。」
看来，「黎曼猜想」终结者尚未到来。
Kumar Easwaran的论文如何证明 Kumar Easwaran目前任职于印度Sreenidhi科学技术学院，他在J. E. Littlewood（1885-1977）的研究基础上，表明如果可以确定某个特别选择的复变函数的分析行为，就可以解决黎曼猜想问题。
△ Kumar Easwaran表示，「虽然人们可以很容易地数出从1到20的质数，但要计算100万或100亿以内的质数就相当繁琐了。这一假设的证明非常重要，因为它将使数学家能够准确地计算质数。」
在他的论文中，尝试了以下方法来证明RH：

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那么， Kumar Easwaran的证明思路到底怎么样，供大家参考。论文全文附后。
162岁的「黎曼猜想」 2000年，黎曼猜想被剑桥克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute of Cambridge）指定为「七大千禧年难题之一」。
首个成功证明或证伪这一猜想的人，能够获得高达100万美元的赏金。
可以说，一直以来，「黎曼猜想」就像大海中的灯塔，为数学领域的发展指明方向。
它是众多数学猜想中最重要的一个。它的意义在于，如果该猜想是正确的，那么它就能够自证许多定理。而如今，大部分数学家都倾向于相信黎曼猜想是正确的。
这个问题起源于伟大的德国数学家高斯，他给出了一个公式，能够近似地预测出任意数字的素数个数。

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△ 数学家高斯
而在1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼改进了高斯的公式，用涉及复变量函数演算的方法，得出一个原创公式。

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△ 伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann ， 1826-1866）
那就是赫赫有名的「黎曼猜想」。

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△ 「黎曼猜想」公式
简单说，就是根据一个重要的数学公式，能够画出无穷多个点。黎曼猜测，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外。

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△ 黎曼 Zeta 函数可视化
由于有无穷多个点，所以理论上无法证明是不是所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。
但是，只要有一个点不在这两条直线上，那就能推翻黎曼猜想。
数学家们已经使用计算机验证了最初的15亿个点，全都符合黎曼猜想的排列规律。
「黎曼猜想」难在哪？ 162年未解的数学难题、高达100万美元的赏金……
「黎曼猜想」究竟难在哪里？
知乎用户禀临科技联合创始人PENG Bo则给了我们回答《黎曼猜想为何这样难证？与幻想的证明思路》。新智元获其授权后节选转载如下：

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△ 原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/29208150
难点一：如果黎曼猜想（RH）被证否，并不会有特别严重的后果。

必然如此，如果有严重后果，那么就可以直接用反证法证明RH了。
可与费马大定理的情况比较。费马大定理如果是错误的，那么椭圆曲线就没有了modularity ，这个给人的感觉不好。所以最终费马大定理更容易被证明。
但是如果RH有反例，只能说明许多需要靠假设RH成立的定理需要重新找方法证，并不能说明这些定理是错误的。
历史上有不少起初需要靠假设RH成立，后来就不需要的例子。如Gauss的类数问题，质数分解的算法，等等。
所以， RH实际属于，如果成立非常好，但如果不成立，好像天也不会塌下来，只能说明质数具有某种意想不到的「conspiracy」。

难点二：关于zeta函数，目前的结论集中在functional equation即modularity即Langlands层面。但RH是更高一个层面的结论。

因为容易写出和Riemann zeta长得很像而且也具有函数方程、解析延拓，但是不满足相应RH的Dirichlet级数，例如Davenport-Heilbronn的例子。
对于函数方程，我们在很多zeta函数上都已经会证。但是对于RH ，我们连最简单的数论情况都不会证。
由于函数方程的层面是poisson summation / trace formula ，个人的感觉是，可能trace formula并不足以对付RH 。不过或许最广义的Langlands还是有可能在这里起作用。

那么，如果说函数方程、解析延拓（以及某些增长速度之类）还不足以推出RH ，到底还需要Dirichlet级数的什么性质？从Selberg class看，还需要的是Euler积。
看上去很普通的Euler积，其实是很神秘的。怎么正确用上Euler积是个问题。
难点三：很难说出RH在模形式那边的对应物。

很难说「一个满足RH的Dirichlet级数」在Mellin变换后会变成满足什么性质。所以这种道路似乎是困难的。

难点四：我们会证某些RH的类似物，但不知道怎么把结果转化到数域上。

经典的例子是Weil猜想的情况。由于2维的Weil猜想可以通过考虑C x C证，所以许多人希望用类似的办法证RH ，比如发展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1 x_Z F_1 。但目前还没有人知道怎么做。 Deligne对于高维Weil猜想的证明，实际在本质上也是类似的思路。
而且这又涉及到一个经典问题：「frobenius in char. 0」是什么？无法回答。 Connes的非对易几何对此曾试图有话要说。
总之，几何的方法，目前可以对付local field ，对付char. p ，对付函数方程，但仍然很难对付global field的RH 。
还有一些很玄的方法，比如随机矩阵，比如SpecZ是三维的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。
大家知道，面对很难的猜想，大家攻击不进去，都会在它旁边转来转去，有时转来转去就自动开了，更多的时候还是总得要暴力攻击进去。我觉得这些转来转去可能是越转越难。

令人困惑的问题仍然是：
怎么把Euler积这个条件正确地用上？
如果不用上这个条件，肯定不可能证出来RH 。因为不用上就有反例。
Naive地看， Euler积就是算术基本定理，就是class number 1 ，但然后又怎样呢，不容易继续。也许先找到怎么证special value的系列猜想（Beilinson / Tamagawa etc）会相对简单些。
总之，「黎曼猜想」就像是一座巍峨的高峰， 162年来从未有人成功攀上。
数学奇才Kumar Easwaran试图在峰顶插上自己「到此一游」的旗帜。
最后却发现自己还在半山腰。
参考资料：
【Proof|（转）162年难题，黎曼猜想被印度数学家迎刃而解？克雷数研所发出质疑】论文请跳转P164: https://sreenidhi.edu.in/pdffls/A_Report_on_Riemann_Hypothesis_updated(25-06-21).pdf