狄利克雷函数是可测函数吗？
文章插图
是的 ， 因为狄利克雷函数点点不连续 ， 所以处处不可导 。其函数图像理论上客观存在 ， 但无法画出确切图形 。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数 。
狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴 ， 是一个偶函数 ， 它处处不连续 ， 处处极限不存在 ， 不可黎曼积分 。这是一个处处不连续的可测函数 。
狄里克雷函数是周期函数 ， 但是却没有最小正周期 ， 它的周期是任意负有理数和正有理数 。因为不存在最小负有理数和正有理数 ， 所以狄里克莱函数不存在最小正周期 。
狄利克雷函数怎么表示狄利克雷函数是广义的函数. (Dirac delta function也 是广义的函数.)
狄利克雷函数:
D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}
也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)
分析性质
1、处处不连续
2、处处不可导
3、在任何区间内黎曼不可积
4、函数是可测函数
5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积 ， 且勒贝格积分值为 0（且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞ ， 但在R/Q上有f(x)=0 ， 符合可积条件（说明中Q为有理数集） 。
谷歌搜索 wolfram Dirichlet Function, 有修改狄利克雷函数图像.
又修改狄利克雷函数图像:
文章插图
狄利克雷函数为什么不可积实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是
这是一个处处不连续的可测函数.
狄利克雷函数的性质
1.定义在整个数轴上.
2.无法画出图像.
3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.
4.处处无极限、不连续、不可导.
5.在任何区间上不黎曼可积.
6.是偶函数.
7.它在[0,1]上勒贝格可积
在很多时候,只是为了来说明某些问题的.
这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.
狄里克莱函数狄里克莱函数是用来做反例的 。
平时碰到的函数性质都非常好 ， 比如三角函数有最小正周期 ， 很容易以为周期函数都有最小正周期 ， 那么狄里克莱函数就站出来说：我是周期函数 ， 我没有最小正周期 。
狄利克雷函数为什么不可积狄里克雷函数是周期函数 ， 但是却没有最小正周期 ， 它的周期是任意负有理数和正有理数 。。
狄里克雷（Dirichlet ， Peter Gustav Lejeune ， 1805～1859） ， 德国数学家 。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献 ， 是解析数论的创始人之一 。1805年2月13日生于迪伦 ， 1859年5月5日卒于格丁根 。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学 ， 深受J.B.J.傅里叶的影响。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年 ， 对德国数学发展产生巨大影响 。1839年任柏林大学教授 ， 1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位 。在分析学方面 ， 他是最早倡导严格化方法的数学家之一 。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点 。
【狄利克雷函数怎么表示，狄利克雷函数是可测函数】
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