解微分方程为什么会出现个e 微分
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Q：
解微分方程为什么会出现个e？
比如一解线性的情况 今天突然想起 是不是因为x加1分之一的极限是e 但为什么是e呢 。好突兀啊
A：
你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...
想象你生活在那个微积分初创的年代 ， 你还不知道什么通解公式之类的玩意儿,自然常数 e 还未曾知晓...
你是一个站在时代前沿的数学家 ， 你想知道微分方程：
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的解.
你觉得可以有一个性质良好的函数作为解 ， 比如在
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上解析...
于是你可以在原点将这个函数展开：
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因为
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上解析嘛 ， 所以
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上光滑 ， 求导得：
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然后代入得：
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【解微分方程为什么会出现个e 微分】要使得等式恒成立 ， 所有项数都应该是 0
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上面一个递推式直接迭代可以解得：
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也就是说解可以写成：
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的形式...
后来发现每次都要写这么一坨级数太烦了 ， 经过研究发现定义
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能减少很多麻烦.
然后进一步定义欧拉数
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这个函数性质很好 ， 可以把加法变乘法：
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>>级数绝对收敛时算符可以交换
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人们知道有这种性质的可以叫指数函数 ， 于是 ， 最后定义自然指数函数为
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所以不是为什么出现了个 e ， 出现的是
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至于
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为什么会出现 ， 楼上说的很明白了.
因此指数函数是求导算子的特征函数------算子作用于函数后的不变量 ，
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求导仍是本身.
这个和线性代数里矩阵与特征值是相似的...
特征值是矩阵变换后的基 ， 特征函数也是算子变换后的基...
至于基为什么这样...唉...捉鸡啊...这可以另开一个问题了...
再举一个例子 ， 把傅里叶变换看成一个算子 ， 其特征函数(之一)为
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所以傅里叶变换里这个东西经常出现...
没有也正常 ， 因为傅里叶变换的特征函数可以长得很不一样 ， 比如
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，
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这俩也是.
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