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光是如何选择路径的？在公元40年左右 ， 古希腊数学家海伦就提出 ， 光会选择最短距离的路线 ， 这被称为最小距离原理 。 但是 ， 该原理无法解释光的折射 。 后来 ， 在大约一千年以后 ， 法国数学家费马提出 ， 光沿着时间最短的路径前进 ， 并以此原理解决了光的折射问题 。 事实上 ， 凭借着最短
在这之后 ， 科学家都在寻找更好的能最小化
上式L被称为拉格朗日量 ， 而S被称为作用量 。 拉格朗日提出 ， 自然界的运行总是以作用量最小为原则 ， 后来这被称为最小作用原理 。 此外 ， 他还从最小作用原理得出了拉格朗日方程：
有了这个式子 ， 当我们从牛顿力学转向拉格朗日力学时 ， 在对多体系统的计算中 ， 会发现计算量明显少了很多 。 最小作用原理不仅可以在经典物理中使用 ， 在量子力学和相对论中也可以使用 。 在前面的文章中 ， 我们已经推导了拉格朗日方程 ， 也介绍了它在费曼路径积分中的应用 ， 今天我们就用它在广义相对论下推导短程线/测地线 。
首先 ， 黎曼空间中A和B两点之间可以有无数条线 ， 其中取极值的线称为短程线 ， 线的长度为S：
其中 ， 相邻两点之间的距离为ds ， 它也称为线元：
引入标量型参量λ：
因此 ， 线的长度S、拉格朗日量和拉格朗日方程的公式变为：
把拉格朗日量代入拉格朗日方程得到：
当我们把λ选择为线长S时 ，
所以 ， （1）式可化简为：
其中 ， 减号右边的项α=β合并了 ， 又因为：
所以代入（2）式可继续变形为：
注意到：
于是（3）式可继续写成：
利用克里斯多菲符号与度规之间的关系 ， 我们最终得到：
【利用最小作用原理推导广义相对论的运动方程】这就是黎曼空间中的短程线/测地线方程 ， 也就是广义相对论的运动方程 ， “物质告诉时空如何弯曲 ， 时空告诉物质如何运动”的下半句 。 顺便说一下 ，
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