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在没有毕业的情况下 ， 这个21岁的男孩回到了佛罗伦萨的家中 。 在那里 ， 他的数学才能很快就让文琴佐信服 。 伽利略继续参加奥斯蒂略·里奇的课程 ， 在几年内就撰写了多篇出色的数学论文 ， 还积极参与其父亲的工作 。
科学家文琴佐已经年届六旬 ， 为他家庭的未来担忧 ， 而且无法继续为伽利略的学业提供资助 。 1585年 ， 由于多次申请奖学金未果 ， 他的儿子不得不离开了比萨大学 。
文琴佐·伽利雷认为实验是“万事之师” ， 他已经将他的音乐研究扩充为一项实验性的科研计划 。 他通过一系列声学测试考察琴弦、钟铃和管风琴声管的发声原理 ， 目的是最终破解毕达哥拉斯学派的数秘术 。
在伽利略的后期作品《关于力学的对谈》中 ， 有一些关于声学的段落 ， 它们无疑可以追溯到其父亲的实验 。 其中 ， 伽利略运用对于两人来说都很常用的解析方法剖析了毕达哥拉斯学派对音乐的理解 。
由于一根弦的音调能够通过缩短它的长度、改变它的松紧度或材质等方式升高 ， 对于八度和五度而言 ， 1∶2和2∶3已经不能被视作唯一正确的数学比例 。 “在松紧度和材质不变的情况下 ， 我们通过将长度缩短至一半而得到八度 ， 也就是说 ， 我们先弹整根弦 ， 再弹半根弦 。
在长度和材质不变的情况下 ， 我们通过绷紧琴弦而得到八度；但是为此所需的力量不只是双倍 ， 而是四倍；如果它原先被施以一磅的张力 ， 那么我们需要四磅才能得到八度 。 最后 ， 在长度和松紧度不变的情况下 ， 需要将粗细缩减至1/4 ， 才能得到八度……
面对这些精确的实验 ， 像机智的哲学家那样认为八度的形式就是1∶2 ， 这在我看来完全没有根据 。 ”因为人们同样可以将1∶4称为八度的“自然”形式 。 伽利略问题专家斯蒂尔曼·德雷克不是唯一认为伽利略直接参与了其父亲的实验并在后者引导下熟悉了实验方法的人 。
据此 ， 这位自然科学家就不但从音乐家父亲那里学会了把经验事实作为自我思考的起点 ， 而且也学会了如何利用朴素的方法完成精准测量 ， 以便从中推导数学规律和得出后续结论 。 文琴佐的艺术氛围及其与宫廷的联系也影响了伽利略的职业选择 。
他受到父亲的活跃思想和怀疑精神的熏陶 ， 像后者一样相信经验和实验结果 ， 反对过度假设 ， 并把实践和理论联系起来 。 不过 ， 既不是音乐也不是绘画 ， 而是数学为伽利略铺平了自我实现的道路 。 他能够在比例和逻辑的世界里通过其父亲的考验 ， 而作为数学家甚至超越了后者 ， 并终将摆脱家长权威的束缚 。 数学将成为他毕生的支柱 。
他的把握和他的信念生长于数量的根基之上 。 他越多地将观测结果和经验转化为他所熟悉的几何语言 ， 就能够越好地分辨仅仅传承下来的知识和通过了检验的学问 。 神圣罗马帝国皇帝信仰天主教 ， 符腾堡公爵信仰新教 。
帝国自由市维尔的居民则大多是天主教徒 ， 约翰内斯·开普勒的双亲属于城里的新教少数派 。 如果不只考虑他的最近亲属 ， 情况还要更加复杂：宗教将他的家族一分为二 。 1571年 ， 约翰内斯·开普勒出生在一个信仰完全分裂的邦国 。
天主教皇帝身处遥远的维也纳 ， 此时距离他褒奖维尔这座约有1000居民的城市坚守信仰还没有过去很久 。 维尔亦作维勒（Wile）、乌勒（Wyle）、维尔德施塔特或维勒施塔特（Weilerstadt） ， 是施瓦本地区20多个直辖于皇帝的帝国自由市之一 。 它从皇帝那里获得了征收过路税的特权：每辆货车需要缴纳6芬尼 ， 每辆板车4芬尼 。
维尔的市民可以用这笔收入平整道路和修缮桥梁 。 这座城市为城墙所环绕 ， 三座有人把守的城门上方还挂着告示牌 ， 上面写着商人在此必须上缴的所有其他税费：盐税、皮革税、果税、油脂税、布税、炉灶税 。
开普勒一家的住宅紧挨着市集广场 ， 朝向宏伟的晚哥特式的厅堂式教堂的视野此时还没有被稍后建造的市政厅所遮挡 。 这是一座天主教教堂 。 然而 ， 对于维尔的路德宗信徒来说 ， 城墙以内没有教堂 ， 既没有教士 ， 也没有属于自己的学校 。 他们徒劳地为伸张他们的宗教权利而斗争 。
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